In investigations such as we are now pursuing, it should not be so much asked “what has occurred,” as “what has occurred that has never occurred before.”

消失的“行星”

1596年时，开普勒便发现了火星和木星之间的巨大空隙，并推测那里可能存在着一个行星。但此后几百年直至1766年，数学家提丢斯为当时所发现的六大行星与太阳的距离提出了一个规律，这就是大名鼎鼎的Titius-Bode law(迄今为止仍无明确的物理解释，可能的推测是orbital resonance，海王星不符合这个经验法则，我们目前也无法获取其他恒星系的数据来印证该法则是否有一般性)：

行星	（近似）距离	规律
水星	4	4+0
金星	7	4+3
地球	10	4+6
火星	16	4+12
???	28	4+24
木星	52	4+48
土星	100	4+96

在得到这个经验法则后，提丢斯却认为既然100多年过去了都没人找到这颗行星，这里可能并没有行星而是火星或木星的一颗卫星。天文学家们开始在火星与木星之间寻找这个“失踪的行星”，但一直未果。在之后Titius将该发现写信告知德国天文学家Bode，Bode进一步推广了该公式并写进了畅销书「Anleitung zur Kentniss des Gestirnten Himmels」(意为星空指南)，更巧的是，1781年由William Herschel发现的天王星也符合该法则，这极大增强了该law的说服力。于是，当时的天文学家们都纷纷将目光投向夜空寻找着这颗失踪的“行星”，Bode甚至组建了名为celestial police的团队，但在他们开始寻找前，Giuseppe Piazzi发现了这颗“行星”的踪迹（但这个团队的组建并非无用之功，他们在后来发现了智神星，婚神星，灶王星等,有趣的是Piazzi也是该团体的成员,只是在邀请信到达前便已经发现了）。

1801年1月1日的黎明前(很美妙的巧合)，Piazzi在意大利的西西里用望眼镜在夜空中发现了一个陌生的小点，并在随后的几十天多次观察到了它，记录了19个位置，但其实Piazzi当时并不十分确定这便是那颗消失的行星，在2月12号后这颗星星便消失在了夜空中，Piazzi再无观察到它，于是他将数据报告写信寄给了他的同行，柏林的Bode,米兰的Oriani与巴黎的Lalande,希望他们能用这些稀少的数据计算出天体轨道,在信中他称其为comet与planet.

Piazzi的报告很快就传到了Zach那,并刊登在了Monatliche Corresponclenz的5月专题上,题目起得相当夸张「on a long supposed, now probably discovered, new major planet of our solar system between Mars and Jupiter」,因此即日起Piazzi的观测便在欧洲的天文学家间传播开来.之后的6月专题刊登了天文学家计算的轨道,9月刊登了完整观测数据.在此期间,Piazzi确信了这是颗行星,并为这颗新星赋予了名字Ceres Ferdinandea,该名字来源于其故乡与发现地西西里岛:ceres是罗马神话中掌管丰收和农业的女神，也是该岛的守护神.私以为这个名字在冥冥中起的恰当其分,谷神星由于其丰富的水资源不仅蕴藏着可能的生命,也可能将是人类殖民外太空的第一站.

日期	赤经 (Right Ascension)	赤纬 (Declination)	时间 (Time)
Jan. 2	51°47′49″	15°41′5″	8h39m4.6s
Jan. 22	51°42′21″	17°3′18″	7h20m21.7s
Feb. 11	54°10′23″	18°47′59″	6h11m58.2s

Table 1: 高斯仅仅利用了三个点

Tip 1: Right Ascension& Declination

数据使用celestial sphere方法记录，一组圆周被认为与赤道垂直，从观测者的地平线升起，然后落下。另一组圆周则与赤道平行，一个纵向圆的位置由被称为“赤经”的角度（弧度）来确定，而与天赤道平行的圆的位置则由“赤纬”来确定。（赤经赤纬即使这个celestial sphere的纬度与经度）

Note

111

一场无用功

开普勒三定律

第一定律（椭圆轨道定律）

行星绕太阳的轨道是椭圆，太阳位于椭圆的一个焦点上

第二定律（面积定律）

行星与太阳的连线在相同时间内扫过的面积相等。

第三定律（调和定律）

行星公转周期的平方与轨道半长轴的立方成正比。

\[ T^2 \propto a^3 \]

其中T:行星公转周期,a:轨道半长轴

在当时，几乎所有天文学家都尝试着用这些数据来计算出该天体的轨道，由于开普勒和他一众后继者的贡献，对于地球轨道的确定,包括其在一年中任何一天与太阳之间的距离和位置关系,已经得到了非常精确的了解。（伯努利解决了该二体问题）但因为数据的稀少，天文学家不得不对轨道做出苛刻的假设，如Figure 1所示，天文学家们首先假设轨道为圆形，从两个观测数据时间点出发，对应E1，E2到数据点做射线，然后利用开普勒third law猜测该天体位于哪一个圆上，之后再利用其他数据修正轨道。基于该计算出来的轨道，全欧洲的天文学家和爱好者们都夜夜守着那片根据计算消失的行星理应出现的星区，但任凭他们怎么看，都始终无法再次抓住它的尾巴。因为该计算忽略了一个很重要的东西–误差error！

高斯的表演时间

Some ideas occurred to me in the month of September of the year 1801, … which seemed to point to the solution of the great problem of [computing planetary orbits]. .. [T]hese conceptions . . . happily occurred at the most propitious moment for their preservation and encouragement that could have been selected. For just about this time the report of the new planet, discovered on the first day of January of that year with the telescope at Palermo, was the subject of universal conversation; and soon afterwards the observations made by that distinguished astronomer Piazzi from the above date to the eleventh of February were published. Nowhere in the annals of astronomy do we meet with so great an opportunity, and a greater one could hardly be imagined, for showing most strikingly, the value of this problem, than in this crisis and urgent necessity, when all hope of discovering in the heavens this planetary atom, among innumer- able small stars after the lapse of nearly a year, rested solely upon a sufficiently approximate knowledge of its orbit to be based upon these very few observations. Could I ever have found a more seasonable opportunity to test the practical value of my conceptions, than now in employing them for the determination of the orbit of the planet Ceres, which during these forty-one days had described a geocentric arc of only three degrees, and after the lapse of a year must be looked for in a region of the heavens very remote from that in which it was last seen? This first application of the method was made in the month of October, 1801, and the first clear night, when the planet was sought for as directed by the numbers deduced from it, restored the fugitive to observation.

于此同时，年仅24岁的高斯刚刚完成博士论文,也对这个问题有浓厚的兴趣，这将是一个将他刚提出的最小二乘法与误差分布规律用于实战的绝佳机会。用了两个月，他便使用了仅3个数据便获得了一个被后来证实无比接近正确答案的谷神星轨道，并且没有对轨道做出任何特别的假设。同年的12月31日晚，德国天文爱好者奥伯斯在高斯预言的时间里，用望远镜对准了这片天空，终于这颗神秘天体又出现在了人们的视野里。

问题来了，他是怎么做到的呢？要回答这个问题，我们不妨扮演下福尔高斯的华生吧。高斯当时拥有约二十次观测数据，这些数据是由皮亚齐在 1801 年 1 月 1 日至 2 月 11 日期间所进行的观测所得。每次观测的数据包括一个特定时间点的详细描述，精确到小数秒级别，以及两个角度，它们定义了在该时刻观测到的物体相对于由天球（或“恒星固定星系”）所定义的天文参考系的精确方向。皮亚齐以度、分、秒以及十分之一弧秒的形式给出了这些角度。原则上，每次观测都定义了一条穿过空间的直线，从观测时皮亚齐望远镜所在的空间位置开始——这一位置可以通过已知的地球自转和绕太阳的运动来确定——并沿着皮亚齐所给出的两个角度所定义的方向延伸。当然，高斯必须对各种影响因素进行修正，比如地球自转轴的精确度、地球大气中的视差和折射，还要考虑到皮亚齐观测中可能出现的误差范围。

而高斯的策略很简单，首先确定一个对未知轨道的相对粗略的近似值，然后逐步对其进行细化，直至达到极高的精度。他选用了三个数据点，其中我们能发现赤纬从最初15°增加到了18°（距离黄道面的极大偏移，这也是为什么Piazzi最初怀疑这是颗comet），而高斯的当务之急便是确定不同时间点地球距离该颗行星的距离，事实上他用复杂的代数与几何计算做到了这里便不再赘述。感兴趣的可以看看The Discovery of Ceres: How Gauss Became Famous,也许在未来我会另起一篇详细写写

那么误差的分布又是如何影响到轨道的计算呢？高斯假设这些误差服从正态分布（高斯分布），并且利用他新提出的最小二乘法来最小化这些误差，从而找到最优的轨道参数估计值。通过这种方法，他能够有效地处理观测数据中的噪声和不确定性，从而得出一个可靠的轨道模型。

等等，为什么服从高斯分布？在这里我们不妨采用天文学家John Herschel的例子来推导一下。首先我们感兴趣的点无疑是二维的，Piazzi对谷神星的观测可以视作在一个飞镖盘上投掷飞镖，真实位置在原点，由于种种随机因素的影响（仪器，大气blabla）飞镖会偏离目标，观测点(x,y)是一个2维随机变量，我们再假设概率分布满足两个条件：

x与y互相独立
落点的概率密度函数仅与其到原点的距离有关，即分布在空间上具有旋转对称性。

由条件一我们有$f(x,y)=g(x)z(y)$,由条件2我们有g=h且$f(x,y)=f(\sqrt{x^2+y^2})$

因此有:

\[f(\sqrt{(x^2+y^2)})=g(x)g(y)\Rightarrow f(\sqrt{(x^2+y^2)})=f(x)f(y)\Rightarrow h(x+y)=h(x)h(y) \tag{1}\]

那么什么形式的函数会符合该要求呢？不妨设$h(x^2)=f(x)$

\[ for\ any\ n\in \mathbb N^+,h(n)=h(1+\cdots+1)=h(1)\cdots h(1)=h(1)^{n} \]

由Equation 1, 我们知道:

\[h(0)=h(0)h(0)\]

因为$h(0)\neq 0$, 因此$h(0)=1$, 那么有:

\[ h(0)=h(0)h(0)=h(0)^{2} \]

对于$p\in\mathbb{Z}^{+}$, 有: \[1=h(0)=h(p-p)=h(p)h(-p)=h(1)^{p}h(-p)\] 易得对于任意负整数$-p$, 有:

\[ h(-p)=h(p)^{-1}=h(1)^{-p} \]

同理，对于任意正整数 $q \in \mathbb{Z}^+$，可以得到以下表达式 \[ h(q) = \prod_{k=1}^{q} h(1) = h(1)^q \] 对公式适当变形，可得： \[ h(1) = h\left(\frac{q}{q}\right) = h\left(\frac{1}{q}\right)^q \] 可以得到： \[ h\left(\frac{1}{q}\right) = h(1)^{\frac{1}{q}} \] 综合上述可得，对于任意有理数 $\frac{p}{q} \in \mathbb{Q}$，都满足： \[ h\left(\frac{p}{q}\right) = h(1)^{\frac{p}{q}} \tag{2}\]

至此该函数在有理数域$\mathbb{Q}$上已经被完全确定，接下来我们需要将其扩展到实数域$\mathbb{R}$上。由于概率函数 $h(x)$ 在实数域上是连续的。根据实数的稠密性，对于任意实数 $x \in \mathbb{R}$，都可以找到一个有理数序列 $\{r_n\}$，使得 $\lim_{n \to \infty} r_n = x$。因此Equation 2对无理数也成立，于是乎我们便得到了函数h(x)最终的表达式：

\[ h(x)=h(1)^x=e^{x\ln h(1)},f(x)=h(x^2)=e^{x^2\ln h(1)} \]

\[ \int_{-\infty}^{+\infty}f(x)dx=\int_{-\infty}^{+\infty}e^{x^2k}dx=\sqrt\pi/\sqrt {-k}(k<0) \]

在之后由于概率密度函数需要满足积分等于一条件：

我们将该概率函数归一化：

\[ f(x)=\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{x^2}{2\sigma^2}},k=-\frac{1}{2\sigma^2} \]

至此我们熟悉的正态分布便出现了！当然了以上的推导并不十分严谨。

\[ error\sim N_2(\mu,\Sigma),h(x)=\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}} \]

尾声

高斯在计算出谷神星的预测轨道后，将结果寄给了 von Zach,发表在了Monatliche Corresponclenz的12月专题上,并写道,Great hope for help and facilitation is accorded us by the recently shared investigation and calculation of Dr. Gauss in Brunswick.”,尽管该结果与其他天文学家的计算有着极大的不同.预测是对的,12月7日Zach根据高斯的预测结果重新定位到了ceres.之后过了几周,在新一年的伊始,Olbers这位业余天文爱好者兼高斯好友也观测到了ceres,消息传出,高斯的天才名声响彻了欧洲.

something interesting

太阳系距离阶梯

或者换个名字：现代以前太阳系内内天体距离的测量

这里插个有趣的问题，那时候的人们是如何测量不同行星到太阳的距离的呢？在现代技术以前，天文学家主要通过一些巧妙的几何方法来测量天体大小与距离，这里做个简单介绍：

我们从地日距离开始，事实上，当你得到地日距离后，其他距离也会顺理成章地得到这里有个巧合就是当我们看向天空时，不难发现太阳月亮几乎是一样大的（日食相当明显），所以可以近似认为$R_{m}/D_m=R_s/D_s \approx1/220$

再根据地月轨道的几何关系如图，其中half moon弦月指的是天空中刚好能看到一半的月亮，注意不是满月与新月时间的一半，我们有$R_m/R_s=\sin \theta$

$\theta$该如何计算呢？那时的人们只能估计，但该角度十分地小以至于估计的误差十分之大，事实上最终计算的日地距离是20倍的地月距离，而真实值是370倍，但以古希腊的时间来说这已经是极其伟大的成就了。

之后人们用金星凌日现象得到了更为准确的估计值。(视差法)

--- title: ceres(1)谷神星与小行星带的发现：高斯是如何确定其轨道一举成名的？ date: '2025-10-1' author: kili description: 在18世纪的欧洲，天文学家普遍认为火星与木星间也存在着一个行星，谷神星的发现是一个有趣的故事与数学问题。 --- > In investigations such as we are now pursuing, it should not be so much asked “what has occurred,” as “what has occurred that has never occurred before.” # 消失的“行星” 1596年时，开普勒便发现了火星和木星之间的巨大空隙，并推测那里可能存在着一个行星。但此后几百年直至1766年，数学家提丢斯为当时所发现的六大行星与太阳的距离提出了一个规律，这就是大名鼎鼎的Titius-Bode law(迄今为止仍无明确的物理解释，可能的推测是orbital resonance，海王星不符合这个经验法则，我们目前也无法获取其他恒星系的数据来印证该法则是否有一般性)： | 行星 | （近似）距离 | 规律 | |------|--------------|------| | 水星 | 4 | 4+0 | | 金星 | 7 | 4+3 | | 地球 | 10 | 4+6 | | 火星 | 16 | 4+12 | | ??? | 28 | 4+24 | | 木星 | 52 | 4+48 | | 土星 | 100 | 4+96 | ![Titius-Bode law与真实的天体距离](images/clipboard-1262915192.png) 在得到这个经验法则后，提丢斯却认为既然100多年过去了都没人找到这颗行星，这里可能并没有行星而是火星或木星的一颗卫星。天文学家们开始在火星与木星之间寻找这个“失踪的行星”，但一直未果。在之后Titius将该发现写信告知德国天文学家Bode，Bode进一步推广了该公式并写进了畅销书「Anleitung zur Kentniss des Gestirnten Himmels」(意为星空指南)，更巧的是，1781年由William Herschel发现的天王星也符合该法则，这极大增强了该law的说服力。于是，当时的天文学家们都纷纷将目光投向夜空寻找着这颗失踪的“行星”，Bode甚至组建了名为celestial police的团队，但在他们开始寻找前，Giuseppe Piazzi发现了这颗“行星”的踪迹（但这个团队的组建并非无用之功，他们在后来发现了智神星，婚神星，灶王星等,有趣的是Piazzi也是该团体的成员,只是在邀请信到达前便已经发现了）。 1801年1月1日的黎明前(很美妙的巧合)，Piazzi在意大利的西西里用望眼镜在夜空中发现了一个陌生的小点，并在随后的几十天多次观察到了它，记录了19个位置，但其实Piazzi当时并不十分确定这便是那颗消失的行星，在2月12号后这颗星星便消失在了夜空中，Piazzi再无观察到它，于是他将数据报告写信寄给了他的同行，柏林的Bode,米兰的Oriani与巴黎的Lalande,希望他们能用这些稀少的数据计算出天体轨道,在信中他称其为comet与planet. Piazzi的报告很快就传到了Zach那,并刊登在了Monatliche Corresponclenz的5月专题上,题目起得相当夸张「on a long supposed, now probably discovered, new major planet of our solar system between Mars and Jupiter」,因此即日起Piazzi的观测便在欧洲的天文学家间传播开来.之后的6月专题刊登了天文学家计算的轨道,9月刊登了完整观测数据.在此期间,Piazzi确信了这是颗行星,并为这颗新星赋予了名字Ceres Ferdinandea,该名字来源于其故乡与发现地西西里岛:ceres是罗马神话中掌管丰收和农业的女神，也是该岛的守护神.私以为这个名字在冥冥中起的恰当其分,谷神星由于其丰富的水资源不仅蕴藏着可能的生命,也可能将是人类殖民外太空的第一站. | 日期 | 赤经 (Right Ascension) | 赤纬 (Declination) | 时间 (Time) | |---------|------------------------|--------------------|-------------| | Jan. 2 | 51°47′49″ | 15°41′5″ | 8h39m4.6s | | Jan. 22 | 51°42′21″ | 17°3′18″ | 7h20m21.7s | | Feb. 11 | 54°10′23″ | 18°47′59″ | 6h11m58.2s | : 高斯仅仅利用了三个点 {#tbl-1} ::: {#tip-example .callout-tip} ## Right Ascension& Declination 数据使用celestial sphere方法记录，一组圆周被认为与赤道垂直，从观测者的地平线升起，然后落下。另一组圆周则与赤道平行，一个纵向圆的位置由被称为“赤经”的角度（弧度）来确定，而与天赤道平行的圆的位置则由“赤纬”来确定。（赤经赤纬即使这个celestial sphere的纬度与经度） ![](images/clipboard-1036332639.png) ::: ::: callout-note 111 ::: # 一场无用功 ::: callout-tip ## 开普勒三定律 ### 第一定律（椭圆轨道定律）行星绕太阳的轨道是椭圆，太阳位于椭圆的一个焦点上 ### 第二定律（面积定律）行星与太阳的连线在相同时间内扫过的面积相等。 ### 第三定律（调和定律）行星公转周期的平方与轨道半长轴的立方成正比。 $$ T^2 \propto a^3 $$ 其中T:行星公转周期,a:轨道半长轴 ::: 在当时，几乎所有天文学家都尝试着用这些数据来计算出该天体的轨道，由于开普勒和他一众后继者的贡献，对于地球轨道的确定,包括其在一年中任何一天与太阳之间的距离和位置关系,已经得到了非常精确的了解。（伯努利解决了该二体问题）但因为数据的稀少，天文学家不得不对轨道做出苛刻的假设，如[@fig-1]所示，天文学家们首先假设轨道为圆形，从两个观测数据时间点出发，对应E1，E2到数据点做射线，然后利用开普勒third law猜测该天体位于哪一个圆上，之后再利用其他数据修正轨道。基于该计算出来的轨道，全欧洲的天文学家和爱好者们都夜夜守着那片根据计算消失的行星理应出现的星区，但任凭他们怎么看，都始终无法再次抓住它的尾巴。因为该计算忽略了一个很重要的东西--误差error！ ![天文学家尝试计算轨道](images/clipboard-4267421630.png){#fig-1} # 高斯的表演时间 > Some ideas occurred to me in the month of September of the year 1801, ... which seemed to point to the solution of the great problem of [computing planetary orbits]. .. [T]hese conceptions . . . happily occurred at the most propitious moment for their preservation and encouragement that could have been selected. For just about this time the report of the new planet, discovered on the first day of January of that year with the telescope at Palermo, was the subject of universal conversation; and soon afterwards the observations made by that distinguished astronomer Piazzi from the above date to the eleventh of February were published. Nowhere in the annals of astronomy do we meet with so great an opportunity, and a greater one could hardly be imagined, for showing most strikingly, the value of this problem, than in this crisis and urgent necessity, when all hope of discovering in the heavens this planetary atom, among innumer- able small stars after the lapse of nearly a year, rested solely upon a sufficiently approximate knowledge of its orbit to be based upon these very few observations. Could I ever have found a more seasonable opportunity to test the practical value of my conceptions, than now in employing them for the determination of the orbit of the planet Ceres, which during these forty-one days had described a geocentric arc of only three degrees, and after the lapse of a year must be looked for in a region of the heavens very remote from that in which it was last seen? This first application of the method was made in the month of October, 1801, and the first clear night, when the planet was sought for as directed by the numbers deduced from it, restored the fugitive to observation. 于此同时，年仅24岁的高斯刚刚完成博士论文,也对这个问题有浓厚的兴趣，这将是一个将他刚提出的最小二乘法与误差分布规律用于实战的绝佳机会。用了两个月，他便使用了仅3个数据便获得了一个被后来证实无比接近正确答案的谷神星轨道，并且没有对轨道做出任何特别的假设。同年的12月31日晚，德国天文爱好者奥伯斯在高斯预言的时间里，用望远镜对准了这片天空，终于这颗神秘天体又出现在了人们的视野里。问题来了，他是怎么做到的呢？要回答这个问题，我们不妨扮演下福尔高斯的华生吧。高斯当时拥有约二十次观测数据，这些数据是由皮亚齐在 1801 年 1 月 1 日至 2 月 11 日期间所进行的观测所得。每次观测的数据包括一个特定时间点的详细描述，精确到小数秒级别，以及两个角度，它们定义了在该时刻观测到的物体相对于由天球（或“恒星固定星系”）所定义的天文参考系的精确方向。皮亚齐以度、分、秒以及十分之一弧秒的形式给出了这些角度。原则上，每次观测都定义了一条穿过空间的直线，从观测时皮亚齐望远镜所在的空间位置开始——这一位置可以通过已知的地球自转和绕太阳的运动来确定——并沿着皮亚齐所给出的两个角度所定义的方向延伸。当然，高斯必须对各种影响因素进行修正，比如地球自转轴的精确度、地球大气中的视差和折射，还要考虑到皮亚齐观测中可能出现的误差范围。而高斯的策略很简单，首先确定一个对未知轨道的相对粗略的近似值，然后逐步对其进行细化，直至达到极高的精度。他选用了[三个数据点]{#tbl-1}，其中我们能发现赤纬从最初15°增加到了18°（距离黄道面的极大偏移，这也是为什么Piazzi最初怀疑这是颗comet），而高斯的当务之急便是确定不同时间点地球距离该颗行星的距离，事实上他用复杂的代数与几何计算做到了这里便不再赘述。[感兴趣的可以看看The Discovery of Ceres: How Gauss Became Famous,也许在未来我会另起一篇详细写写](https://www.jstor.org/stable/2690592?seq=1) ![高斯计算轨道的手稿](images/clipboard-1110849980.png) 那么误差的分布又是如何影响到轨道的计算呢？高斯假设这些误差服从正态分布（高斯分布），并且利用他新提出的最小二乘法来最小化这些误差，从而找到最优的轨道参数估计值。通过这种方法，他能够有效地处理观测数据中的噪声和不确定性，从而得出一个可靠的轨道模型。等等，为什么服从高斯分布？在这里我们不妨采用天文学家John Herschel的例子来推导一下。首先我们感兴趣的点无疑是二维的，Piazzi对谷神星的观测可以视作在一个飞镖盘上投掷飞镖，真实位置在原点，由于种种随机因素的影响（仪器，大气blabla）飞镖会偏离目标，观测点(x,y)是一个2维随机变量，我们再假设概率分布满足两个条件： 1. x与y互相独立 2. 落点的概率密度函数仅与其到原点的距离有关，即分布在空间上具有旋转对称性。 ![](images/clipboard-3769697173.png) 由条件一我们有$f(x,y)=g(x)z(y)$,由条件2我们有g=h且$f(x,y)=f(\sqrt{x^2+y^2})$ 因此有: $$f(\sqrt{(x^2+y^2)})=g(x)g(y)\Rightarrow f(\sqrt{(x^2+y^2)})=f(x)f(y)\Rightarrow h(x+y)=h(x)h(y) $$ {#eq-1} 那么什么形式的函数会符合该要求呢？不妨设$h(x^2)=f(x)$ $$ for\ any\ n\in \mathbb N^+,h(n)=h(1+\cdots+1)=h(1)\cdots h(1)=h(1)^{n} $$ 由[@eq-1], 我们知道: $$h(0)=h(0)h(0)$$ 因为$h(0)\neq 0$, 因此$h(0)=1$, 那么有: $$ h(0)=h(0)h(0)=h(0)^{2} $$ 对于$p\in\mathbb{Z}^{+}$, 有: $$1=h(0)=h(p-p)=h(p)h(-p)=h(1)^{p}h(-p)$$ 易得对于任意负整数$-p$, 有: $$ h(-p)=h(p)^{-1}=h(1)^{-p} $$ 同理，对于任意正整数 $q \in \mathbb{Z}^+$，可以得到以下表达式 $$ h(q) = \prod_{k=1}^{q} h(1) = h(1)^q $$ 对公式适当变形，可得： $$ h(1) = h\left(\frac{q}{q}\right) = h\left(\frac{1}{q}\right)^q $$ 可以得到： $$ h\left(\frac{1}{q}\right) = h(1)^{\frac{1}{q}} $$ 综合上述可得，对于任意有理数 $\frac{p}{q} \in \mathbb{Q}$，都满足： $$ h\left(\frac{p}{q}\right) = h(1)^{\frac{p}{q}} $$ {#eq-2} 至此该函数在有理数域$\mathbb{Q}$上已经被完全确定，接下来我们需要将其扩展到实数域$\mathbb{R}$上。由于概率函数 $h(x)$ 在实数域上是连续的。根据实数的稠密性，对于任意实数 $x \in \mathbb{R}$，都可以找到一个有理数序列 $\{r_n\}$，使得 $\lim_{n \to \infty} r_n = x$。因此[@eq-2]对无理数也成立，于是乎我们便得到了函数h(x)最终的表达式： $$ h(x)=h(1)^x=e^{x\ln h(1)},f(x)=h(x^2)=e^{x^2\ln h(1)} $$ $$ \int_{-\infty}^{+\infty}f(x)dx=\int_{-\infty}^{+\infty}e^{x^2k}dx=\sqrt\pi/\sqrt {-k}(k<0) $$ 在之后由于概率密度函数需要满足积分等于一条件：我们将该概率函数归一化： $$ f(x)=\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{x^2}{2\sigma^2}},k=-\frac{1}{2\sigma^2} $$ 至此我们熟悉的正态分布便出现了！当然了以上的推导并不十分严谨。 $$ error\sim N_2(\mu,\Sigma),h(x)=\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}} $$ ![一个normal的不能再normal的高斯分布](images/output.png) # 尾声高斯在计算出谷神星的预测轨道后，将结果寄给了 von Zach,发表在了Monatliche Corresponclenz的12月专题上,并写道,Great hope for help and facilitation is accorded us by the recently shared investigation and calculation of Dr. Gauss in Brunswick.",尽管该结果与其他天文学家的计算有着极大的不同.预测是对的,12月7日Zach根据高斯的预测结果重新定位到了ceres.之后过了几周,在新一年的伊始,Olbers这位业余天文爱好者兼高斯好友也观测到了ceres,消息传出,高斯的天才名声响彻了欧洲. # something interesting ::: callout-tip ## 太阳系距离阶梯或者换个名字：现代以前太阳系内内天体距离的测量这里插个有趣的问题，那时候的人们是如何测量不同行星到太阳的距离的呢？在现代技术以前，天文学家主要通过一些巧妙的几何方法来测量天体大小与距离，这里做个简单介绍：我们从地日距离开始，事实上，当你得到地日距离后，其他距离也会顺理成章地得到这里有个巧合就是当我们看向天空时，不难发现太阳月亮几乎是一样大的（日食相当明显），所以可以近似认为$R_{m}/D_m=R_s/D_s \approx1/220$ ![](images/clipboard-237394214.png) 再根据地月轨道的几何关系如图，其中half moon弦月指的是天空中刚好能看到一半的月亮，注意不是满月与新月时间的一半，我们有$R_m/R_s=\sin \theta$ $\theta$该如何计算呢？那时的人们只能估计，但该角度十分地小以至于估计的误差十分之大，事实上最终计算的日地距离是20倍的地月距离，而真实值是370倍，但以古希腊的时间来说这已经是极其伟大的成就了。之后人们用金星凌日现象得到了更为准确的估计值。(视差法) :::